Rangkuman Materi Program Linier - Primalangga -->
materi program linier kelas 11

Program Linear -  pada kelas 11 smeserter pertama kita akan mempelajari program linier yang merupakan bagian dari matematika berupa pemecahan masalah pengoptimalan, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear yang bergantung pada kendala (batasan) linear. Kendala ini bisa berupa pertidaksamaan atau persamaan linear.


Sebagai contoh, kita ingin memaksimalkan nilai dari x+y dengan kendala:
3x + y \le 6 \newline \newline 2x+4y \le 8 \newline \newline x+y \ge 1
Jadi, nilai x dan y yang memaksimumkan nilai x+y harus memenuhi ketiga pertidaksamaan (kendala) di atas.
Untuk itu, agar kamu memahami materi program linear, kamu harus memahami terlebih dahulu materi persamaan garis lurus dan sistem pertidaksamaan linear.

Review Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis yang melewati titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab
Contoh: Persamaan garis yang melewati titik A (0,3) dan (5, 0) adalah 3x + 5y = 15
Persamaan garis yang melewati titik x_1, y_1 dan x_2, y_2 adalah:
\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
Contoh: Persamaan garis yang melewati titik A (2, 4) dan B (3, 5) adalah:
\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - 4}{5 - 4}
x - 2 = y - 4
x - y = -2

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem pertidaksamaan linear merupakan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear pada topik program linear biasanya berupa pertidaksamaan yang terdiri dari 2 variabel, yaitu x dan y. Misalnya, ax + by \le c.
Pada soal program linear, terkadang bentuk pertidaksamaan tidak langsung dinyatakan dalam notasi variabel, tetapi melalui suatu bahasa atau pernyataan, sehingga perlu diterjemahkan ke bentuk pertidaksamaan linear biasa. Penerjemahan ini disebut dengan pemodelan matematika, dan sistem pertidaksamaan liner yang terbentuk disebut dengan model matematika.

Baca Juga Rangkuman Materi, Contoh soal dan Pembahasan Irisan dua lingkaran
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan uji titik.
Misalnya kita ingin menggambar grafik ax+by <= c. Langkah-langkahnya adalah:
  1. Gambarkan garis ax+by=c pada koordinat Cartesius.
  2. Pilih satu (sembarang) titik yang tidak terletak pada garis ax+by=c tersebut, lalu substitusikan nilai titik (x, y) tersebut ke pertidaksaman ax+by <= c. Untuk mempermudah perhitungan, ujilah pertidaksamaan tersebut pada titik O (0,0).
    • Jika pertidaksamaan tersebut bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut, dengan batasnya adalah garis ax+by=c
    • Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut, dengan batasnya adalah garis ax+by=c
Sedangkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linearnya adalah irisan dari semua daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut.
Contoh:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari:
3x+y \le 15 \newline \newline x+2y \le 10 \newline \newline x+y \ge 5 \newline \newline x \ge 0, y \ge 0
Jawab:
Gambarkan terlebih dahulu grafik 3x+y=15x+2y=10, dan x+y=5 pada koordinat Cartesius. Perhatikan grafik di bawah ini:
program linear
Kemudian, uji masing-masing pertidaksamaan pada titik O (0,0), untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan, dan perhatikan  daerah irisannya. Maka didapat himpunan penyelesaiannya seperti pada grafik berikut:
contoh soal program linear

Nilai Optimum Fungsi Objektif Program Linear

Pada program linear, fungsi objektif merupakan suatu fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak ditentukan nilai optimumnya (maksimum atau minimum).
Nilai optimum suatu fungsi objektif dapat ditentukan dengan menggunakan: (1) metode garis selidik (membuat persamaan garis selidik) dan menggeser-geser garis selidik di daerah himpunan penyelesaian, atau (2). metode pengujian titik sudut (menguji nilai (x, y) titik sudut dan mensubstitusikannya pada fungsi objektif program linear.
Titik sudut merupakan titik perpotongan masing-masing pertidaksamaan linear. Koordinat titik sudut dapat dihitung dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Menurut penulis, cara yang paling mudah adalah dengan menggunakan metode pengujian titik sudut, di mana kita tinggal mensubstitusi nilai titik sudut sistem pertidaksamaan linear pada grafik koordinat Cartesius.

Contoh Soal Program Linear

Nilai maksimum dari 20x + 8y untuk x dan y yang memenuhi x+y \ge 202x + y \le 48 0 \le x \le 20, dan 0 \le y \le 48 adalah …. (SPMB 2005)
Jawab:
Gambarkan pertidaksamaan tersebut ke dalam koordinat Cartesius, yaitu sbb:
program model matematika
Kemudian tentukan daerah himpunan penyelesaiannya, yaitu irisan dari setiap pertidaksamaan. Yaitu seperti pada grafik di bawah ini:
program contoh soal
Titik potong haris x = 20 dan 2x + y = 48 adalah (20, 8)
Uji titik sudut:
(0, 48) \longrightarrow f(x,y) = 20x + 8y = 20 \cdot 0 + 8 \cdot 48 = 384
(20, 8) \longrightarrow f(x,y) = 20x + 8y = 20 \cdot 20 + 8 \cdot 8 = 464
Nilai fungsi pada titik (0, 20) dan (20, 0) tidak perlu dihitung, karena berada di bawah garis 2x + y = 48, yang mana nilainya pasti lebih rendah.


Temen-temen dapat memberikan Donasi untuk Perkembangan Blog ini kedepannya dengan cara meng "klik" iklan yang tampil. 1 klik saja sudah cukup bagi kami. 
Terima Kasih !!

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 20x + 8y program linear tersebut adalah 464

Rangkuman Materi Program Linier

PENGUMUMAN

Mimin akan sangat berterima kasih, Jika teman-teman mau BERDONASI secara GRATIS dengan cara "KLIK" iklan dibawah.

materi program linier kelas 11

Program Linear -  pada kelas 11 smeserter pertama kita akan mempelajari program linier yang merupakan bagian dari matematika berupa pemecahan masalah pengoptimalan, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear yang bergantung pada kendala (batasan) linear. Kendala ini bisa berupa pertidaksamaan atau persamaan linear.


Sebagai contoh, kita ingin memaksimalkan nilai dari x+y dengan kendala:
3x + y \le 6 \newline \newline 2x+4y \le 8 \newline \newline x+y \ge 1
Jadi, nilai x dan y yang memaksimumkan nilai x+y harus memenuhi ketiga pertidaksamaan (kendala) di atas.
Untuk itu, agar kamu memahami materi program linear, kamu harus memahami terlebih dahulu materi persamaan garis lurus dan sistem pertidaksamaan linear.

Review Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis yang melewati titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab
Contoh: Persamaan garis yang melewati titik A (0,3) dan (5, 0) adalah 3x + 5y = 15
Persamaan garis yang melewati titik x_1, y_1 dan x_2, y_2 adalah:
\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
Contoh: Persamaan garis yang melewati titik A (2, 4) dan B (3, 5) adalah:
\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - 4}{5 - 4}
x - 2 = y - 4
x - y = -2

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem pertidaksamaan linear merupakan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear pada topik program linear biasanya berupa pertidaksamaan yang terdiri dari 2 variabel, yaitu x dan y. Misalnya, ax + by \le c.
Pada soal program linear, terkadang bentuk pertidaksamaan tidak langsung dinyatakan dalam notasi variabel, tetapi melalui suatu bahasa atau pernyataan, sehingga perlu diterjemahkan ke bentuk pertidaksamaan linear biasa. Penerjemahan ini disebut dengan pemodelan matematika, dan sistem pertidaksamaan liner yang terbentuk disebut dengan model matematika.

Baca Juga Rangkuman Materi, Contoh soal dan Pembahasan Irisan dua lingkaran
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan uji titik.
Misalnya kita ingin menggambar grafik ax+by <= c. Langkah-langkahnya adalah:
  1. Gambarkan garis ax+by=c pada koordinat Cartesius.
  2. Pilih satu (sembarang) titik yang tidak terletak pada garis ax+by=c tersebut, lalu substitusikan nilai titik (x, y) tersebut ke pertidaksaman ax+by <= c. Untuk mempermudah perhitungan, ujilah pertidaksamaan tersebut pada titik O (0,0).
    • Jika pertidaksamaan tersebut bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut, dengan batasnya adalah garis ax+by=c
    • Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut, dengan batasnya adalah garis ax+by=c
Sedangkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linearnya adalah irisan dari semua daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut.
Contoh:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari:
3x+y \le 15 \newline \newline x+2y \le 10 \newline \newline x+y \ge 5 \newline \newline x \ge 0, y \ge 0
Jawab:
Gambarkan terlebih dahulu grafik 3x+y=15x+2y=10, dan x+y=5 pada koordinat Cartesius. Perhatikan grafik di bawah ini:
program linear
Kemudian, uji masing-masing pertidaksamaan pada titik O (0,0), untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan, dan perhatikan  daerah irisannya. Maka didapat himpunan penyelesaiannya seperti pada grafik berikut:
contoh soal program linear

Nilai Optimum Fungsi Objektif Program Linear

Pada program linear, fungsi objektif merupakan suatu fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak ditentukan nilai optimumnya (maksimum atau minimum).
Nilai optimum suatu fungsi objektif dapat ditentukan dengan menggunakan: (1) metode garis selidik (membuat persamaan garis selidik) dan menggeser-geser garis selidik di daerah himpunan penyelesaian, atau (2). metode pengujian titik sudut (menguji nilai (x, y) titik sudut dan mensubstitusikannya pada fungsi objektif program linear.
Titik sudut merupakan titik perpotongan masing-masing pertidaksamaan linear. Koordinat titik sudut dapat dihitung dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Menurut penulis, cara yang paling mudah adalah dengan menggunakan metode pengujian titik sudut, di mana kita tinggal mensubstitusi nilai titik sudut sistem pertidaksamaan linear pada grafik koordinat Cartesius.

Contoh Soal Program Linear

Nilai maksimum dari 20x + 8y untuk x dan y yang memenuhi x+y \ge 202x + y \le 48 0 \le x \le 20, dan 0 \le y \le 48 adalah …. (SPMB 2005)
Jawab:
Gambarkan pertidaksamaan tersebut ke dalam koordinat Cartesius, yaitu sbb:
program model matematika
Kemudian tentukan daerah himpunan penyelesaiannya, yaitu irisan dari setiap pertidaksamaan. Yaitu seperti pada grafik di bawah ini:
program contoh soal
Titik potong haris x = 20 dan 2x + y = 48 adalah (20, 8)
Uji titik sudut:
(0, 48) \longrightarrow f(x,y) = 20x + 8y = 20 \cdot 0 + 8 \cdot 48 = 384
(20, 8) \longrightarrow f(x,y) = 20x + 8y = 20 \cdot 20 + 8 \cdot 8 = 464
Nilai fungsi pada titik (0, 20) dan (20, 0) tidak perlu dihitung, karena berada di bawah garis 2x + y = 48, yang mana nilainya pasti lebih rendah.


Temen-temen dapat memberikan Donasi untuk Perkembangan Blog ini kedepannya dengan cara meng "klik" iklan yang tampil. 1 klik saja sudah cukup bagi kami. 
Terima Kasih !!

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 20x + 8y program linear tersebut adalah 464
Load Comments

Dapatkan Pembahasan Terupdate

Notifications

Disqus Logo
close