Contoh Soal dan Pembahasan materi Irisan Kerucut (Hiperbola) LENGKAP! - Primalangga -->

Materi Dan Pembahasan Soal Tentang Irisan Kerucut ( Hiperbola )

contoh soal dan pembahasan irisan kerucut (hiperbola) adalah apa yang anda cari, maka anda datang pada tempat yang tepat. primalangga akan membahasa beberapa materi terkait soal dan pembahasan irisan kerucut kelas 11 yang mana merupakan bab pada semester 2. untuk itu mari kita pelajari bersama


1. Irisan Kerucut



Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.
Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris sejajar dengan sumbu simetri.


1. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.





Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).
• F1( -c, 0) dan F2(c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a.
• Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.
• Sumbu mayor adalah A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B1B2, panjangnya 2b.
• Titik A1 dan A2 disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.
• Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah 
2b2a
• Persamaan asimtot hiperbola adalah 

• Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.
• Persamaan garis direktriks adalah 

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.

2. Persamaan Hiperbola

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah
x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(c, 0) dan F2(-c, 0).
Titik puncak adalah A1(a, 0) dan A2(-a, 0).
Persamaan asimtotnya adalah


Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah
y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(0, c) dan F2(0, -c).
Titik puncak adalah A1(0, a) dan A2(0, -a).
Persamaan asimtotnya adalah

Contoh Soal Materi Irisan Kerucut


Contoh 1
Tentukan persaman asimtot dari persamaan 
x29−y216=1


Penyelesaian
Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu x. Akibatnya, a2 = 9 dan b2 = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.
Persamaan asimtotnya adalah
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1


Titik fokus adalah F1(p + c, q) dan F2(p – c, q).
Titik puncak adalah A1(p + a, q) dan A2(p – a, q).
Persamaan asimtotnya adalah


Bagaimana jika sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah


(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1


Titik fokus adalah F1(p, q + c) dan F2(p, q – c).
Titik puncak adalah A1(p, q + a) dan A2(p, q – a).
Persamaan asimtotnya adalah



Contoh 2
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0.
Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!



Penyelesaian
Ayo, ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68
9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4
9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36
4(y + 1)2 – 9(x – 2)2 = 36
(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1


Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y dengan a2 = 9 dan b2 = 4. Akibatnya, c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.
Titik pusat hiperbola adalah (2, -1).
Titik puncaknya adalah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).
Titik fokusnya adalah

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola. Coba perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x1, y1).


a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola
• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x1, y1) pada hiperbola
x2a2 − y2b2 = 1
adalah
x1xa2 − y1yb2 = 1



Contoh 3
Coba tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 
(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1


Penyelesaian
Persamaan garis singgungnya dapat dihitung seperti berikut.
(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.



b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola
Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

x2100−y264=1


Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 
x2100−y264=1

Penyelesaian


Gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
y=mx±a2m2−b2−−−−−−−−√y=x±100.1−64−−−−−−−−−√y=x±36−−√y=x±6
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 6 atau y = x – 6. 


sekian ya pembahasan tentang contoh soal dan pembahasan irisan kerucut nya. semoga dapat bermanfaat bagi teman-teman. jangan lupa follow fanpage dan twitter kami untuk mendapatkan update terbaru. link dapat anda klik pada icon media sosial diatas. terima kasih


Contoh Soal dan Pembahasan materi Irisan Kerucut (Hiperbola) LENGKAP!

PENGUMUMAN

Mimin akan sangat berterima kasih, Jika teman-teman mau BERDONASI secara GRATIS dengan cara "KLIK" iklan dibawah.

Materi Dan Pembahasan Soal Tentang Irisan Kerucut ( Hiperbola )

contoh soal dan pembahasan irisan kerucut (hiperbola) adalah apa yang anda cari, maka anda datang pada tempat yang tepat. primalangga akan membahasa beberapa materi terkait soal dan pembahasan irisan kerucut kelas 11 yang mana merupakan bab pada semester 2. untuk itu mari kita pelajari bersama


1. Irisan Kerucut



Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.
Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris sejajar dengan sumbu simetri.


1. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.





Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).
• F1( -c, 0) dan F2(c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a.
• Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.
• Sumbu mayor adalah A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B1B2, panjangnya 2b.
• Titik A1 dan A2 disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.
• Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah 
2b2a
• Persamaan asimtot hiperbola adalah 

• Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.
• Persamaan garis direktriks adalah 

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.

2. Persamaan Hiperbola

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah
x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(c, 0) dan F2(-c, 0).
Titik puncak adalah A1(a, 0) dan A2(-a, 0).
Persamaan asimtotnya adalah


Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah
y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(0, c) dan F2(0, -c).
Titik puncak adalah A1(0, a) dan A2(0, -a).
Persamaan asimtotnya adalah

Contoh Soal Materi Irisan Kerucut


Contoh 1
Tentukan persaman asimtot dari persamaan 
x29−y216=1


Penyelesaian
Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu x. Akibatnya, a2 = 9 dan b2 = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.
Persamaan asimtotnya adalah
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1


Titik fokus adalah F1(p + c, q) dan F2(p – c, q).
Titik puncak adalah A1(p + a, q) dan A2(p – a, q).
Persamaan asimtotnya adalah


Bagaimana jika sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah


(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1


Titik fokus adalah F1(p, q + c) dan F2(p, q – c).
Titik puncak adalah A1(p, q + a) dan A2(p, q – a).
Persamaan asimtotnya adalah



Contoh 2
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0.
Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!



Penyelesaian
Ayo, ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68
9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4
9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36
4(y + 1)2 – 9(x – 2)2 = 36
(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1


Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y dengan a2 = 9 dan b2 = 4. Akibatnya, c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.
Titik pusat hiperbola adalah (2, -1).
Titik puncaknya adalah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).
Titik fokusnya adalah

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola. Coba perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x1, y1).


a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola
• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x1, y1) pada hiperbola
x2a2 − y2b2 = 1
adalah
x1xa2 − y1yb2 = 1



Contoh 3
Coba tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 
(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1


Penyelesaian
Persamaan garis singgungnya dapat dihitung seperti berikut.
(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.



b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola
Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

x2100−y264=1


Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 
x2100−y264=1

Penyelesaian


Gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
y=mx±a2m2−b2−−−−−−−−√y=x±100.1−64−−−−−−−−−√y=x±36−−√y=x±6
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 6 atau y = x – 6. 


sekian ya pembahasan tentang contoh soal dan pembahasan irisan kerucut nya. semoga dapat bermanfaat bagi teman-teman. jangan lupa follow fanpage dan twitter kami untuk mendapatkan update terbaru. link dapat anda klik pada icon media sosial diatas. terima kasih


Dapatkan Pembahasan Terupdate

Notifications

Disqus Logo
close