Soal dan Pembahasan Perkalian dan Proyeksi Vektor Matematika

Primalangga - Contoh soal dan pembahasan vektor matematika kelas 10. biasanya contoh soal proyeksi vektor dan contoh soal panjang vektor matematika adalah hal yang sering ditanyakan. selain itu kita juga akan membahasa tentang resultan vektor serta hasil perkalian vektor dalam sudut antara vektor a dan b dengan suatu hasil vektor satuan. mari kita langsung saja bahas soal berikut...

Contoh soal dan pembahasan vektor matematika

Soal No. 1

Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut: 

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:

a) Koordinat titik S

b) Koordinat titik V

c) Vektor SV dalam bentuk kolom

d) SV dalam bentuk vektor satuan

e) Modulus atau panjang SV

Pembahasan

a) Koordinat titik S

x = 5

y = 0

z = 5

(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V

x = 10

y = 10

z = 0

(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom 

d) SV dalam bentuk vektor satuan

SV = 5i + 10j − k

e) Modulus atau panjang SV 

Soal No. 2

Diberikan tiga buah vektor masing-masing:

a = 6p i + 2p j − 8 k

b = −4 i + 8j + 10 k

c = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....

A. − 58 i − 20 j − 3k

B. − 58 i − 23 j − 3k

C. − 62 i − 17 j − 3k

D. − 62 i − 20 j − 3k

E. − 62 i − 23 j − 3k

Pembahasan

Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a ⋅ b = 0

(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0

− 24p + 16p − 80 = 0

− 8p = 80

p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah

a = 6p i + 2p j − 8 k

a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k

a = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)

a − c = − 58 i − 23 j − 3k

Soal no 3

Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q 

a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom

b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan

Titik P berada pada koordinat (3, 1)

Titik Q berada pada koordinat (7,4)

a) PQ dalam bentuk vektor kolom

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ 

Soal No. 4

Dua buah vektor masing-masing:

p = 3i + 2j + k

q = 2i – 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

Pembahasan

Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k 

Dengan rumus penjumlahan 

Soal No. 5

Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:

a) |a + b|

b) |a – b|

Pembahasan

a) |a + b|

Jumlah dua buah vektor 

b) |a – b|

Selisih dua buah vektor 

Soal No. 6

Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..

A. 4/3

B. 8/9

C. ¾

D. 3/8

E. 8/36

(Soal Ebtanas Tahun 2000)

Pembahasan

Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya: 

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c: 

Soal No. 7

Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah....

A. i − j + k

B. i − 3j + 2k

C. i − 4j + 4k

D. 2i − j + k

E. 6i − 8j + 6k

(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

Pembahasan

Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal). 

Soal No. 8

Diketahui proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah…

A. ¹/₂

B. ¹/₂ √2

C. ¹/₁₄√14

D. 2√14

E. ⁷/₂√14

Pembahasan

2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah 

Soal No. 9 Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....

A. 1/8 π

B. 1/4 π

C. 1/3 π

D. 1/2 π

E. 2/3 π

(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan

Sudut antara dua buah vektor:

Soal No. 10

Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....

A. 0

B. ¹/₄ π

C. ¹/₂ π

D. ³/₄ π

E. π

(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)

Pembahasan

Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:

u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k

v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau ¹/₂ π

sekian ya contoh soa dan pembahasan resultan vektor matematika kelas  10, pekalian vektor dan vektor posisi merupakan komponen terpenting dalam materi vektor matematika. hal yang berkaitan dengan vektor matematika diantaranya materi vektor matematika sma

contoh soal vektor satuan, contoh soal proyeksi vektor, contoh soal panjang vektor matematika.